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RC电路(RC circuit)

发布时间:2020-06-08  浏览量:755  点赞:429

    RC电路(RC circuit)

    图 1 最简单的RC电路

    RC电路顾名思义是由电阻和电容所组成的电路,最简单的形式如图 1,该电容已经充电过,可视为一个电源供应器接上一个电阻,如果未充电过则储存电荷量 $$Q$$ 为零,甚幺事也不会发生。

    由于电路满足克希何夫定律(Kirchhoff’s law),亦即通过整个迴圈的总电位降为零,故可列式为

    $$\displaystyle V=\frac{Q}{C}=IR$$

    其中 $$V$$ 为电阻两端的电压,$$C$$ 为电容,$$Q$$ 为电容所储存的电量。

    又因为电容的电荷随时间 $$t$$ 减少产生电流 $$\displaystyle-\frac{dQ}{dt}=I$$

    联立两式可解得 $$\displaystyle \frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q$$,

    分离变数后积分得 $$\displaystyle Q=Q_0e^{-\frac{t}{RC}}$$,其中 $$Q_0$$ 为一开始电容储存的电荷量。

    由上式可以知道电荷量会随时间呈现指数递减,

    电流则是 $$\displaystyle I=-\frac{dQ}{dt}=\frac{Q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$$也是随着时间做指数递减,

    我们通常把电流递减到起始值的 $$\frac{1}{e}$$ 倍所需时间称做时间常数(time constant) $$\tau=RC$$。

    RC电路(RC circuit)

    图2 含直流电压的RC电路

    另一种常见的RC电路是加上一个定压电源(电池)$$\epsilon$$,如图 2。假设一开始电容未充电,依据克希何夫定律可得

    $$\displaystyle\epsilon=\frac{Q}{C}+IR=\frac{Q}{C}+\dot{Q}R$$

    上式为一阶微分方程,可用分离变数法积分得

    $$Q=\epsilon C(1-e^{-\frac{t}{RC}})$$

    这表示电容所储存电荷量从 $$0$$ 开始递增,

    直到经过无穷久后,电容才会充饱电 $$Q=\epsilon C$$,

    而电流 $$\displaystyle I=\frac{dQ}{dt}=\frac{\epsilon}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$ 告诉我们电流随时间做指数递减直到电容充饱电。

    电容本身可以储存能量,其储存功率是

    $$\displaystyle P_C=d(\frac{Q^2}{2C})/dt=\frac{\epsilon^2}{R}(e^{-\frac{t}{RC}}-e^{-\frac{2t}{RC}})$$

    再看电阻消耗的功率 $$\displaystyle P_R=I^2R=\frac{\epsilon^2}{R}e^{-\frac{2t}{RC}}$$,

    而电池供应的功率 $$\displaystyle P=I\epsilon=\frac{\epsilon^2}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$$

    我们可以发现 $$P=P_C+P_R$$,亦即能量是守恆的。以力学系统来作比拟,电容本身仅将能量储存,并不会耗散能量,这就像是力学系统中的保守力,而电阻则像是摩擦力一般,将供应的能量转换成热能耗散掉。

    RC电路(RC circuit)

    图3 含交流电压的RC电路

    在现今蓬勃发展的积体电路,比较常见的是利用RC电路施加交流电做出低频或高频的滤波器,如图 3。

    首先讨论低频滤波器。只要输入电压是週期波,即使不是正弦波也可以透过傅立叶级数展开成正弦波的组合,所以可以单纯假设输入的交流电压 $$V_{in}=V_0e^{i\omega t}$$ 为一正弦波,

    取输出电压 $$V_{out}$$ 为电容两端跨压,

    则 $$\displaystyle V_{out}=V_{in}\frac{1/i\omega C}{R+1/i\omega C}=V_{in}\frac{1}{1+i\omega RC}$$

    上式中我们使用了电容的阻抗(impedance)为 $$1/i\omega C$$ ,

    将两端取绝对值可得 $$\displaystyle |V_{out}|=|V_{in}||\frac{1}{1+i\omega RC}|=V_0\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$ ,

    当角频率 $$\omega$$ 很大时,$$|V_{out}|$$ 会变得很小甚至趋近于零,

    反之,当角频率 $$\omega$$ 很小时,$$|V_{out}|$$ 会很接近 $$V_0$$,

    故此电路可将高频的讯号滤掉,保留下低频的讯号。

    接下来是高频滤波器,这次的输出电压 $$V_{out}$$ 为改成取电阻两端跨压,

    则 $$\displaystyle V_{out}=V_{in}\frac{R}{R+1/i\omega C}=V_{in}\frac{1}{1+\frac{1}{i\omega RC}}$$

    将两端取绝对值可得 $$\displaystyle |V_{out}|=|V_{in}||\frac{1}{1+\frac{1}{i\omega RC}}|=V_0\frac{1}{\sqrt{1+1/\omega^2 R^2 C^2}}$$,

    当角频率 $$\omega$$ 很小时,$$|V_{out}|$$ 会变得很小甚至趋近于零,

    反之,当角频率$$\omega$$ 很大时,$$|V_{out}|$$ 会很接近 $$V_0$$,

    故此电路可将低频的讯号滤掉,保留下高频的讯号。

    高低频的滤波器广泛用于生活中的电器,如收音机接收讯号时必须选用适当的R和C值接收想要的讯号,并且可透过可变电阻或可变电容调整接收的频率;麦克风中的放大器需要将适当的频率範围放大,捨弃掉高频的杂讯和低频的干扰。

    RC电路在许多IC内也相当重要,比方说电晶体(BJT)、场效电晶体(MOSFET)的模型可简化成较複杂的RC电路,而这两个电路元件是製作电压、电流、功率放大器,甚至是电流供应器不可或缺的重要元件。或许你会想说乾脆用RC电路就可以取代这些电路元件,但是在IC要求体积小的情况下RC电路就显得相形见绌,因此我们仍需要这些电路元件,但是背后使用的原理是相同的。

    参考文献: